BÀI TẬP TOÁN 11 TRANG 36

Hướng dẫn giải, đáp án bài 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường xuyên gặp) – Chương 1: Hàm con số giác và phương trình lượng giác.

Bạn đang xem: Bài tập toán 11 trang 36

Bài 2. Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.

Nghiệm của phương trình đã đến là các nghiệm của nhì phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta bao gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 

*

*

Bài 3. Giải những phương trình sau:

a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

*
 a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 

*

Phương trình đang cho tương đương với

cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.

Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của nhị phương trình sau :

*

và 

*

Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình biến hóa 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.

Vậy 

*

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành


t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.

Vậy 

*

Bài 4: Giải những phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;

b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.

Giải: a) thường thấy cosx = 0 không thỏa mãn nhu cầu phương trình đã do đó chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.

Xem thêm: Download Age Of Empires Ii, Aoe2, Age Of Empires Ii

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.

Vậy 

*

b) thay 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã đến trở thành

3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x

⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

*

⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) gắng sin2x = 2sinxcosx ;


1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã đến và rút gọn ta được phương trình tương đương

1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

*

⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0

⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

*

Bài 5. Giải những phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.

Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2

*

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) buộc phải phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

*

d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 

*

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6. a. Rã (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;

b. Chảy x + chảy (x + π/4) = 1

*

*

Ôn lại Lý thuyết

Phương pháp giải phương trình hàng đầu đối với 1 hàm con số giác

Chỉ đề xuất thực hiên hai phép chuyển đổi tương đương: chuyển số hạng không chứa x quý phái vế đề xuất và đổi dấu; phân tách hai vế phương trình cho một trong những khác 0 là ta rất có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết phương pháp giải.

Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác

Đặt hàm số lượng giác cất ẩn phụ ta gửi được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai bao gồm nghiệm thì cố kỉnh giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ phiên bản đã biết phương pháp giải.

Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c

Chỉ đề xuất xét trường hòa hợp cả hai thông số a, b những khác 0 (trường hợp 1 trong hai hệ số đó bởi 0 thì phương trình nên giải là hpuwong trình số 1 đối với cùng một hàm con số giác (sinx hoặc cosx) đã hiểu cách thức giải.

Cách 1: chia hai vế phương trình mang đến

*
 và gọi α là góc lượng giác tạo vì chưng chiều dương của trục hoành cùng với vecto OM = (a ; b) thì phương trình vươn lên là một phương trình đã biết cách giải:
*
Cách 2: Viết lại phương trình bên dưới dạng
*
, phương trình thay đổi :
*

Phương trình này đã hiểu phương pháp giải.

Chú ý : Để phương trình 

*
 có nghiệm, điều kiện cần cùng đủ là

*

Đó cũng là đk cần với đủ nhằm phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm.

Phương pháp giải những phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác

Hệ thống các công thức lượng giác rất nhiều chủng loại nên các phương trình lượng giác cũng rất đa dạng. áp dụng thành thạo các phép thay đổi lượng giác các em có thể đưa các phương trình yêu cầu giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm con số giác. Chẳng hạn, phương trình phong cách bậc hai so với cosx với sinx :

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d

có thể mang về dạng phương trình bậc hai so với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Chính vì sự nhiều chủng loại và đa dạng mẫu mã ấy nên cửa hàng chúng tôi cũng chỉ rất có thể minh họa phương thức giải thông qua một trong những ví dụ nổi bật và các em rất có thể nắm vững phương pháp giải thông qua nhiều bài xích tập.